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由2、3、4、5、6个人不对号入座的结论,我们不难发现这类不对号入座问题的一个递推公式。设n个人不对号入座共有an种方法,则不同人数的坐法数对应于数列{an。易知a1=0,a2=1。n个球的不对号入座方法为an=(n-1)(an-2+an-1)(n≥3)。递推公式表述为:a1=0,a2=1,an=(n-1)(an-2+an-1),n≥3。
拓展:
类比一阶递归数列概念,不妨定义同时含有an+2、an+1、an的递推式为二阶数列,而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形,可以先如此诠释二阶数列的简单形式[4]:
an+2=A*an+1+B*an,(同样,A,B常系数)
基本思路类似于一阶,只不过,在复合时要注意观察待定系数和相应的项
原式复合:令原式变形后为这种形式an+2-ψ*an+1=ω(an+1-ψ*an)
将该式与原式对比,可得
ψ+ω=A且-(ψ*ω)=B
通过解这两式可得出ψ与ω的值,
令bn=an+1-ψ*an,原式就变为bn+1=ω*bn等比数列,可求出bn通项公式bn=f(n),
即得到an+1-ψ*an=f(n)(其中f(n)为关于n的函数),而这个式子恰复合了一阶数列的定义,即只含有an+1和an两个数列变项,从而实现了“降阶”,化“二阶”为“一阶”,进而求解。
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