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arctanx=1/(1+x2)。arctanx是正切函数,其定义域是{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z},值域是R。arctanx是反正切函数,其定义域是R,反正切函数的值域为(-π/2,π/2)。
推导过程:
设x=tant,则t=arctanx,两边求微分。
dx=[(cos²t+sin²t)/(cos²x)]dt。
dx=(1/cos²t)dt。
dt/dx=cos²t。
dt/dx=1/(1+tan²t)。
因为x=tant。
所以上式t'=1/(1+x²)。
反函数求导法则:
如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0,那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导,
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy。
这个结论可以简单表达为:反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
例:设x=siny,y∈[−π2,π2]x=siny,y∈[−π2,π2]为直接导数,则
y=arcsinxy=arcsinx是它的反函数,求反函数的导数。
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